blog

Aug 13, 2023

O ‘teorema da bola peluda’ da matemática mostra por que sempre há pelo menos um lugar na Terra onde não sopra vento

Aqui está o que o problema mais complicado da matemática pode nos ensinar sobre vento, antenas e fusão nuclear. Você pode se surpreender ao saber que não é possível pentear os pelos de um coco sem criar um

Aqui está o que o problema mais complicado da matemática pode nos ensinar sobre vento, antenas e fusão nuclear.

Você pode se surpreender ao saber que não pode pentear os cabelos de um coco sem criar um topete. Talvez ainda mais surpreendente, esta afirmação tola com um nome ainda mais tolo, “o teorema da bola peluda”, é uma descoberta orgulhosa de um ramo da matemática chamado topologia. Deixando o humor juvenil de lado, o teorema tem consequências de longo alcance na meteorologia, na transmissão de rádio e na energia nuclear.

Aqui, “topete” pode significar uma careca ou um tufo de cabelo espetado para cima, como aquele que o personagem Alfalfa ostenta em “The Little Rascals”. É claro que os matemáticos não se referem a cocos ou topetes na formulação do problema. Em linguagem mais técnica, pense no coco como uma esfera e nos cabelos como vetores. Um vetor, geralmente representado como uma seta, é apenas algo com magnitude (ou comprimento) e direção. Pentear o cabelo contra as laterais do coco formaria o equivalente a vetores tangentes – aqueles que tocam a esfera exatamente em um ponto ao longo de seu comprimento. Além disso, queremos um pente liso, para não permitir que o cabelo fique repartido em qualquer lugar. Em outras palavras, o arranjo dos vetores na esfera deve ser contínuo, o que significa que os fios de cabelo próximos devem mudar de direção apenas gradualmente, e não bruscamente. Se juntarmos esses critérios, o teorema diz que, de qualquer maneira que você tente atribuir vetores a cada ponto de uma esfera, algo feio está fadado a acontecer: haverá uma descontinuidade (uma parte), um vetor com comprimento zero (um careca). ponto) ou um vetor que não é tangente à esfera (Alfafa). Em jargão completo: um campo vetorial tangente contínuo e invariável em uma esfera não pode existir.

Esta afirmação se estende a todos os tipos de figuras peludas. No campo da topologia, os matemáticos estudam as formas, como fariam na geometria, mas imaginam que essas formas são feitas de uma borracha sempre elástica. Embora essa borracha seja capaz de se moldar em outras formas, ela é incapaz de rasgar, fundir ou passar por si mesma. Se uma forma pode ser suavemente deformada em outra sem fazer essas coisas, então essas formas são equivalentes, no que diz respeito aos topologistas. Isso significa que o teorema da bola peluda se aplica automaticamente a cubos peludos, bichos de pelúcia peludos e tacos de beisebol peludos, que são todos topologicamente equivalentes a esferas. (Você poderia moldá-los todos a partir de uma bola de Play-Doh sem violar as regras de borracha.)

Algo que não equivale a uma esfera é o seu couro cabeludo. O couro cabeludo por si só pode ser achatado em uma superfície e penteado em uma direção, como as fibras de um tapete felpudo. Infelizmente, a matemática não pode desculpar sua cabeceira. Os donuts também são distintos das esferas, então um donut peludo – uma imagem pouco apetitosa, sem dúvida – pode ser penteado suavemente.

Aqui está uma consequência curiosa do teorema da bola peluda: sempre haverá pelo menos um ponto na Terra onde o vento não sopra na superfície. O vento flui numa circulação contínua ao redor do planeta, e sua direção e magnitude em cada local da superfície podem ser modeladas por vetores tangentes ao globo. (As magnitudes vetoriais não precisam representar comprimentos físicos, como os dos cabelos.) Isso atende às premissas do teorema, o que implica que as rajadas devem morrer em algum lugar (criando um topete). Um topete pode ocorrer no olho de um ciclone ou redemoinho, ou pode acontecer porque o vento sopra diretamente em direção ao céu. Esta ferramenta on-line bacana retrata correntes de vento atualizadas na Terra, e você pode identificar claramente os topetes ondulados.

Para observar outra ramificação estranha do teorema, gire uma bola de basquete da maneira que quiser. Sempre haverá um ponto na superfície que tem velocidade zero. Novamente, associamos um vetor tangente a cada ponto com base na direção e velocidade naquele ponto da bola. Girar é um movimento contínuo, então o teorema da bola peluda se aplica e garante um ponto sem velocidade alguma. Após uma reflexão mais aprofundada, isso pode parecer óbvio. Uma bola giratória gira em torno de um eixo invisível e os pontos em cada extremidade desse eixo não se movem. E se fizéssemos um pequeno furo na bola exatamente ao longo desse eixo para remover os pontos estacionários? Parece então que todos os pontos estariam se movendo. Isso viola o teorema da bola peluda? Não, porque fazer um furo transformou a bola num donut! Mesmo os donuts com buracos estreitos e invulgarmente longos desrespeitam as regras do teorema – contradição evitada.